В прямоугольном треугольнике вписана окружность. Точка касания лежащая на гепотенузе разделяет

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2AHTmXo).

Используем характеристики касательной проведенной из одной точки, сообразно которому, отрезки касательных равны меж собой.

Тогда АК = АМ = 6 см, СН = СМ = 4 см, ВК = ВН.

Пусть длина отрезка ВК = ВН = Х см, тогда длина отрезка АВ = (Х + 6) см, ВС = (Х + 4) см, АС = 6 + 4 = 10 см.

В прямоугольном треугольнике АВС, по аксиоме Пифагора, АС² = АВ² + ВС².

10² = (Х + 6)² + (Х + 4)².

100 = Х² + 12 * Х + 36 + Х² + 8 * Х + 16.

2 * Х² + 20 * Х 48 = 0.

Х² + 10 * Х 24 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b²  4 * a * c = 10²  4 * 1 * (-24) = 100 + 96 = 196.

Х₁ = (-10 - 196) / (2 / 1) = (-10  14) / 2 = -24 / 2 = -12. (Не подходит, так как lt; 0).

Х₂ = (-10 + 196) / (2 * 1) = (-10 + 14) / 2 = 4 / 2 = 2.

Тогда АВ = 2 + 6 = 8 см, ВС = 2 + 4 = 6 см

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = АВ * ВС / 2 = 8 * 6 / 2 = 24 см².

Ответ: Площадь треугольника одинакова 24 см².