в треугольник ABC вписана окружность, которая дотрагивается сторон AB, BC, CA

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2Pngnpn).

Так как длины отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки одинаковы, то AR = AP, BP = BQ, CQ = CR.

Для удобства обозначим попарно одинаковые отрезки AR = AP = X, BP = BQ = Y, CQ = CR = Z.

Тогда:

АВ = Х + Y = 10. (1).

AC = X + Z = 5. (2).

BC = Y + Z = 12. (3).

Решим систему их 3-х уравнений способом сложения.

Вычтем из первого уравнения 2-ое.

(X + Y) (X +Z) = 10 5.

Y Z = 5.

Прибавим третье уравнение к заключительному.

(Y + Z) + (Y Z) = 12 + 5.

2 * Y = 17.

Y = 17 / 2 = 8,5 cm.

Подставим значение Y и найдем X и Z.

Х + 8,5 = 10.

Х = 10 8,5 = 1,5 см.

Z = 12 Y = 12 8,5 = 3,5 cм.

Тогда: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.

Ответ: AR = AP = 1,5 см, BP = BQ = 8,5 см, CQ = CR = 3,5 см.