Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6, боковое ребро

Объем правильной треугольной пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. 

В основании правильной треугольной пирамиды лежит верный треугольник, все углы которого одинаковы 60. Площадь такового треугольника определим как половину творенья квадрата стороны на синус угла: 

S_осн = 0,5 * a² * sin 60 = 0,5 * 6² * 3 / 2 = 93. 

Проекция бокового ребра пирамиды совпадает с радиусом описанной около основания-треугольника окружности, который можем отыскать по формуле:

R = a / 3 = 6 / 3 = 23 - проекция бокового ребра на основание. 

В прямоугольном треугольнике, в котором боковое ребро - гипотенуза, вышина и проекция бокового ребра - катеты, вышина - катет, противолежащий углу между боковым ребром и плоскостью основания, тангенс которого по условию равен 1,5. Отношение противолежащего катета к прилежащему - тангенс угла, означает: 

h / R = tg  = 1,5; 

h = 1,5 * R = 1,5 * 23 = 33 - высота данной пирамиды. 

V = S_осн * h / 3 = 93 * 33 / 3 = 27 - разыскиваемый объем пирамиды.