Верхушки вписанного в окружность четырёхугольника разделяют последовательно окружность на дуги, пропорциональные

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2QIe7Zd).

Пусть дан четырехугольник АВСД. Его стороны разделяют окружность на дуги АВ, ВС, СД, АД.

Пусть градусная мера дуги АВ = 2 * Х⁰, тогда ВС = 5 * Х⁰, СД = 7 * Х⁰, АД = 4 * Х⁰.

Градусная мера окружности одинакова 360⁰, тогда:

2 * Х + 5 * Х + 7 * Х + 4 * Х = 360.

18 * Х = 360.

Х = 360 / 18 = 20.

Тогда дуга АВ = 2 * 20 = 40⁰.

ВС = 5 * 20 = 100⁰.

СД = 7 * 20 = 140⁰.

АД = 4 * 20 = 80⁰.

Внутренние угля четырехугольника, это вписанные углы окружности, тогда внутренние углы четырехугольника одинаковы половине градусной меры дуги, на которую они опираются.

Тогда угол А = (100 + 140) / 2 = 120⁰.

Угол В = (80 + 140) / 2 = 110⁰.

Угол С = (40 + 80) / 2 = 60⁰.

Угол Д = (40 + 100) / 2 = 70⁰.

Ответ: Углы четырехугольника равны 120⁰, 110⁰, 60⁰, 70⁰.