В прямоугольном треугольнике ABC из точки N, лежащей на катете AC,

Для решения осмотрим набросок (http://bit.ly/2UZnKow).

1-ый метод.

Так как НМ перпендикуляр к АВ, то треугольник АНМ прямоугольный.

Тогда у прямоугольных треугольников АНМ и АВС угол А общий, тогда треугольники сходственны по острому углу.

По условию, Sавс / Sанм = 4, тогда коэффициент подобия треугольников равен: К = 4 = 2.
ВС и НМ  сходственные стороны сходственных треугольников, тогда ВС / НМ = 2.

НМ = ВС / 2 = 8 / 2 = 4 см.

2-ой метод.

По аксиоме Пифагора определим длину катета АС.

АС² = АВ² ВС² = 289 64 = 225.

АС = 15 см.

Тогда Sавс = АС * ВС / 2 = 15 * 8 / 2 = 60 см².

SinABC = SinAHM = AC / BC = 15/17.

Saнм = Sавс / 4 = 60 / 4 = 15 см².

Sанм = АН * НМ * Sinанм / 2.

НМ = 2 * 15 / 8,5 * (15/17) = 2 * 15 * 17 / 8,5 * 15 = 4 см.
Ответ: Длина отрезка НМ одинакова 4 см