В ромбе abcd со стороной 10 на сторону AD опущена вышина

Для решения осмотрим рисунок (https://bit.ly/2rwvSAJ).

По условию ВР / РН = 5 / 3, тогда 5 * РН = 3 * ВР.

РН = 3 * ВР / 5.

У ромба диагональ делит углы при верхушке напополам, тогда отрезок АР есть биссектриса угла А треугольника ВАН. По свойству биссектрисы треугольника РН / АН = ВР / АВ, тогда

(3 * ВР / 5) / АН = ВР / 10.

АН = 10 * 3 / 5 = 6 см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по аксиоме Пифагора, определим длину катета ВН.

ВН² = АВ² АН² = 10² 6² = 100 36 = 64.

ВН = 8 см.

Пусть длина отрезка РН = Х см, тогда ВР = (8 Х) см.

РН / АН = ВР / АВ.

Х / 6 = (8 Х) / 10.

10 * Х = 48 6 * Х.

16 * Х = 48.

Х = РН = 48 / 16 = 3 см.

Определим тангенс угла РАН.

tgpaн = РН / АН = 3 / 6 = 1 / 2.

Ответ: tgpaн = 1 / 2.