Через середину D стороны AB треугольника ABC проведены прямые перпендикулярные биссектрисам

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2OTQkVk).

Рассмотрим треугольники АДМ и ВДК. По условию, АН и ВР биссектрисы углов А и В, а так же перпендикуляры соответственно ДМ и ДК, то есть являются вышинами этих треугольником.

Если биссектриса сразу является и вышиной треугольника, то таковой треугольник равнобедренный.

Тогда АД = АМ, ВД = ВК.

По условию, точка Д есть середина стороны АВ, тогда АД = ВД, а соответственно, тогда и ВК = АМ, так как треугольники равнобедренные, что и требовалось обосновать.