в равнобокую трапецию вписана окружность радиуса r. Найдите площадь трапеции, если

Для решения рассмотрим набросок (https://bit.ly/2MmPpNp).

Проведем радиусы окружности ОМ и ОК к точкам касания. Касательные ВК и ВМ проведены из одной точки, тогда ВК = ВМ, аналогично АК = АР.

Пусть длина наименьшего основания одинакова 2 * Х см, тогда, по условию, АД = 4 * Х см.

Диаметр МР, одинаковый вышине ВН делит большее и меньшее основание напополам.

Тогда ВК = ВМ = Х см, АВ = АК = 2 * Х см, тогда АВ = АК + ВК = Х + 2 * Х = 3 * Х см.

АН = АР = НР = 2 * Х Х = Х см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по теореме Пифагора, АН² = ВН² + АН².

9 * Х² = 4 * r² + X².

8 * Х² = 4 * r2.

2 * Х * 2 = 2 * r.

X = r / 2.

Тогда ВС = 2 * r / 2 = r * 2 cм.

АД = 2 * ВС = 2 * r * 2 см.

ВН = 2 * r см.

Определим площадь трапеции.

S = (ВС + АД) * ВН / 2 = (r * 2 + 2 * r * 2) * 2 * r / 2 = 3 * r² * 2 см².

Ответ: Радиус окружности равен 6 см.