В прямоугольном треугольнике КМН (КН - гипотенуза) проведены вышина МС и

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2I50AuU).

Так как АМ медиана треугольника КМН, то треугольник АКМ равнобедренный, АК = АМ как радиусы описанной окружности, тогда угол АКМ = АМК.

Треугольники МСН и КНМ прямоугольные и подобны по острому углу, тогда угол МКН = СМН.

Тогда угол АМК = СМН.

Угол КМР = АМК АМР.

Угол НМР = СМН СМР.

А так как АМК = СМН, а АМР = СМР, так как МР биссектриса угла СМА, то угол КМР = НМР, а как следует МР биссектриса прямого угла, что и требовалось доказать.