2. Три верхушки правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами треугольника.

Для решении рассмотрим набросок (http://bit.ly/2J3kXZg).

1-ый способ.

Так как шестиугольник верный, то длины всех его сторон одинаковы, а внутренние углы равны 120⁰.

Пусть длина ребра шестиугольника равна Х см.

Тогда, в равнобедренном треугольнике АВМ по аксиоме косинусов определим длину стороны ВМ.

ВМ² = АВ² + АМ² 2 * АВ * АМ * Cos120 = Х² + Х² 2 * Х2 * (-1/2) = 3 * Х².

ВМ = Х * 3 см.

Треугольник ВДМ, интеллигентный малыми диагоналями, равносторонний, тогда Р₃ = 3 * Х * 3 см.

Периметр шестиугольника равен: Р₆ = 6 * Х см.

Тогда Р₆ / Р₃ = 6 * Х / 3 * Х * 3 = 2 * 3 / 3.

2-ой метод.

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

АВ = R см.

Тогда Р₆ = 6 * R.

Так как малые диагонали шестиугольника равны, то треугольник ВДМ равносторонний, а радиус описанной около него окружности равен:

R = ВД / 3 см.

Тогда ВД = ВМ = ДМ = R * 3 см.

Р₃ = 3 * R * 3 см.

Тогда Р₆ / Р₃ = 6 * R / 3 * R * 3 = 2 / 3 = 2 * 3 / 3.

Ответ: Отношение периметров одинаково 2 * 3 / 3.