В прямоугольный треугольник вписали круг. Точка соприкосновения разделяет один из катетов

Предположим, что треугольник - АВС.
Тогда, С - прямой угол, а точки соприкосновения со стороной АС мы назовем К, а со стороной СВ - М.
Можно заметить, что АС=АК+КС=9+3=12 см.
Также заметим, что СКОМ - это квадрат, потому что ОК перпендикулярно АС, так как АС - касательная к вписанной окружности.
С - прямой угол по условию задачки.
ОМ перпендикулярно СВ, так как СВ - касательная к вписанной окружности.
На оставшийся угол КОМ остается 90 градусов - по свойству сумм углов четырехугольника.
Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам.
3 знаменитых угла - прямые, означает на четвертый угол КОМ остается 360-3*90=360-270=90 градусов.
Мы можем заметить, что СК=ОК=3 см.
Это значит, что длина радиуса вписанной окружности одинакова 3 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине творенья катетов.
S=0,5AC*CB=0,5*12*CB=6CB

С иной стороны S=p*r, где r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр.
Означает, S=3*p.
S=3*0,5*(AC+CB+AB)
S=3*0,5*(12+CB+AB)

По теореме Пифагора:
AB=AC в квадрате+CB в квадрате=12 в квадрате+СB в квадрате= 144+CB в квадрате
Означает, найдем площадь по-другому:
S=3*0,5*(12+CB+144+CB в квадрате)

Приравняем правые доли уравнений.
Найдем катет СВ.
6CB=3*0,5*(12+CB+144+CB в квадрате)
Сократим обе доли на 3:
2CB=0,5*(12+CB+144+CB в квадрате)
Умножим обе доли на 2:
4CB=12+CB+144+CB в квадрате
4CB-12-CB=144+CB в квадрате
3CB-12=144+CB в квадрате
Возведем обе части в квадрат:
9CB в квадрате-72CB+144=144+CB в квадрате
Сократим обе доли на слагаемое 144:
9CB в квадрате-72CB=CB в квадрате
Перенесем все в одну часть:
9CB в квадрате-72CB-CB в квадрате=0
8CB в квадрате-72CB=0
Сократим обе доли на 8:
CB в квадрате-9CB=0
CB*(CB-9)=0

1-ый ответ СВ=0 - не подходит по смыслу задачки.
2-ой ответ СВ=9 см - подойдет.

Гипотенузу вычислим по той же аксиоме Пифагора:
AB=144+CB в квадрате
AB=144+9 в квадрате
AB=144+81
AB=225
AB=15 в квадрате
AB=15 см
Ответ: Безызвестный катет равен 9 см, а гипотенуза одинакова 15 см.