в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность,

Отрезки касательных из одной точки до точек касания с окружностью одинаковы. 

Обозначим точки касания на АС -Р, на АВ-М, на ВС-К. 

Пусть КВ=а. 

Тогда КВ=МВ=а, АМ=АР=37-а. 

Катет АС=37-а+5=42-а.

Катет ВС=а+5.

Гипотенуза АВ=37.

По т.Пифагора 

АВ*=АС*+ВС

Подставив отысканные значения катетов и гипотенузы в это уравнение, получим квадратное уравнение 

2а-74а+420. 

Решение этого уравнения дает два корня:  30 и 7, оба подходят, т.к. равны отрезкам АВ. 

Тогда АС=42-7=35, 

ВС=7+5=12

S АВС=АСBC:2=3512:2=210 см