Помогите пожалуйста решить: В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания

Ну, обыденным способом я просто решу. 

Надо выстроить прямую скрещения АВ1D и АВС. В плоскости грани ВВ1С1С продлим прямые ВС (за точку С) и В1D (за точку D) до скрещения - пусть это точка Е. Явно, что точка Е принадлежит плоскости АВС. И явно, что раз D - середина СС1, то треугольники В1С1D и DCE равны (по стороне и 2 углам). Потому DE = B1D, и СЕ = В1С1 = ВС = 2.

Ровная АЕ содержит 2 точки ( А и Е), принадлежащие плоскостям АВС и B1АD, потому АЕ - ребро двугранного угла между этими плоскостями. Чтобы вычислить линейный угол двугранного угла, заметими, что угол АСЕ - наружный угол треугольника АВС, потому он равен 120 градусам. Получается, что треугольник АСЕ - равнобедренный с боковыми гранями АС = СЕ = 2 и углом при вершине 120 градусов. 

Если через точки D, C и середину АЕ (пусть это точка М) провести плоскость, то СМ перпендикулярна АЕ и DC перпендикулярна АЕ (DC препендикулярна вообщем всей плоскости АВС, в том числе и лежащей в ней прямой АЕ). Потому плоскость DCM перпендикулярна АЕ, и угол DMC и есть искомый угол. Обозначим его Ф.

При этом СМ - вышина к основанию в равнобедренном треугольнике АСЕ. Угол при основании (к примеру, угол САЕ) равен 30 градусов, потому СМ = АС/2 = 1;

DC = CC1/2 = 1/2;

tg(Ф) = DC/CM = 1/2;

Координатным тоже можно. Разместим начало координат в точке А. Ось X пустим II BC, ось Y перпендикулярно ВС. Ось Z это АА1. Тогда уравнение плоскости АВС z = 0, и координаты нормального вектора n = (0, 0, 1).

Найдем координаты точек В1 и D. Напомню, что сторона основания одинакова 2, то есть высота одинакова корень(3).

Координаты точки С, явно, (1, корень(3), 0), точки В (-1, корень(3), 0)

Потому B1 (-1, корень(3), 1), D (1, корень(3), 1/2);

Напомню, что точка А (0, 0, 0); составим уравнение плоскости, проходящей через А, В1, D.

Запишем определитель

Ix          y            z   I

I-1  корень(3)     1   I

I1   корень(3)    1/2 I

Либо, в обыкновенном виде, 

x*(корень(3)*(1/2) - корень(3)*1) - y*((-1)*(1/2) - 1*1) + z*((-1)*корень(3) - 1*корень(3)) = 0;

(корень(3)/2)*x - (3/2)*y + 2*корень(3)*z = 0;

РАзделим на корень(3)/2, получим

x - y*корень(3) + 4*z = 0; (если есть сомнения, конкретной проверкой уверяемся, что точки B1 (-1, корень(3), 1), D (1, корень(3), 1/2) принадлежат этой плоскости)

Обычный вектор p = (1, корень(3), 4)

Найдем его модуль. IpI^2 = 1 + 3 + 16 = 20;  IpI = 2*корень(5);

Угол между плоскостями равен углу меж нормальными векторами, то есть

cos(Ф) = np/IpI = 4/(2*корень(5)) = 2*корень(5)/5.

Докажите что это тот же самый ответ. :))))))