Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С. Биссектриса BL и

На первом вложенном файле приведено подтверждение формулы длины биссектрисы 

l = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c); (здесь, и далее в таких случаях В - это угол АВС)

Эта формула нам понадобится. 2-ой вложенный файл - это чертеж к задачке.

По условию

5/6 = МК/СК = МВ/СВ = (АВ/ВС)/2; 

АВ/ВС = 10/6 = 5/3.

Поэтому треугольник "египетский", подобный (3,4,5).

Без ограничения общности принимаем длину наименьшего катета ВС за 3, тогда АС = 4, АВ = 5; (это просто я избрал единицу длины, отношение LK/BK от такового выбора не зависит, окончательно же).

Используя формулу длины биссектрисы для равнобедренного треугольника ВМС (ВМ = МС = с/2, с - гипотенуза АВС, то есть с = АВ, и заодно a = BC, b = AC для краткости записи), получим

ВК = 2*a*(c/2)*cos(B/2)/(a + c/2) = 2*a*c*cos(B/2)/(2*a + c);

Подобно для треугольника АВС

BL = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c);

Делим одно на иное, получаем

ВК/BL = (a + c)/(2*a + c);

Дальше - очень обыкновенные выкладки (я намеренно не подставляю числа)

ВК = BL*(a + c)/(2*a + c); KL = BL - BK = BL*(1 - (a + c)/(2*a + c)) = BL*a/(2*a + c);

KL/BK = a/(a + c); 

При а = 3; c = 5; KL/BK = 3/8;

Примечание. То, что треугольник "египетский", на решение совершенно не оказывает влияние. На самом деле существенно только то, что он прямоугольный, так как в этом случае СМ = с/2. 

В задаче задано отношение k = 5/6 = МК/СК = ВМ/BC = c/(2*a); то есть c/a = 2*k;

Далее в решении получено соотношение KL/BK = a/(a + c); просто привести это к виду

KL/BK = 1/(2*k + 1);

при к = 5/6; KL/BK = 1/(2*(5/6) + 1) =  1/(8/3) = 3/8; 

В качестве образца я возьму треугольник (5,12,13) - это тоже прямоугольный треугольник.  Я принимаю, что a = 5; (можно брать в качестве a иной катет, получится иной итог).

Тогда 2*k = 13/5; k = МК/СК = 13/10;

KL/BK = 1/(2*k + 1) = 1/(13/5 + 1) = 5/18;

Так что необыкновенность тр-ка АВС в решении данной задачки никакой роли не играет - я получил общее решение для случайного k = МК/СК.