На плоскости из одной точки отложено 27 лучей. Какое наивеличайшее количество

Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90 и меньше 180. Из одной точки можно пустить три луча, которые меж собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи 1-го из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим поблизости второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч поблизости третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка недалёко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем подобно, прибавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, потом 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким методом, но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это 1-ый член последовательности. Используя предшествующее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:
 


Итак, ответ найден. Для 27 лучей вероятно максимум 243 тупых угла.
Так считать длинно, можно узреть формулу для прямого расчёта:


По этой формуле можно считать для любого количества лучей, кратное трём.