Тема: аксиома синусов, аксиома косинусов, описанная окружность, вписанная окружность и т.д

1
По аксиоме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково удвоенному радиусу описанной окружности.
2R = 83/sin(60)
R = 43/(3/2) = 8
2
Верхний набросок
Аксиома косинусов для треугольника 6,10,13
13=10+6-2*10*6*cos(fi)
169=100+36-120*cos(fi)
33=-120*cos(fi)
11=-40*cos(fi)
cos(fi)=-11/40
Аксиома косинусов для треугольника 6,10,x
x=10+6-2*10*6*cos(180-fi)
x=100+36-120*(-cos(fi))
x=136+120*cos(fi)
x=136+120*(-11/40) = 136-3*11 = 103
x=103
--------------------
Казалось, что различное размещение диагоналей даст разные результаты. Но нет, на нижнем рисунке сначала теорема косинусов для треугольника 6,10,13
13=10+6-2*10*6*cos(180-fi)
169=100+36+120*cos(fi)
33=120*cos(fi)
11=40*cos(fi)
cos(fi)=11/40
Аксиома косинусов для треугольника 6,10,x
x=10+6-2*10*6*cos(fi)
x=100+36-120*(cos(fi))
x=136-120*cos(fi)
x=136-120*(11/40) = 136-3*11 = 103
x=103
3
Центр вписанной окружности = точка пересечения биссектрис углов треугольника. Потому отрезки 5 и 12 от вершин острых углов до точки касания вписанной окружностью гипотенузы имеют одинаковые им отрезки 5 и 12 до точек касания окружностью катетов.
Т.к. треугольник прямоуголен, то отрезки катетов от верхушки прямого угла и два радиуса вписанной окружности образуют квадрат со стороной 3.
И длины катетов сочиняют
3+5=8 см
3+12=15 см