В остроугольном треугольнике АВС проведены вышины СМ и AN. Известно, что

Пусть Д точка скрещения высот СМ и АN ABC. Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, означает, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около МВN с радиусом R).
Площадь окружности S=R, откуда  R=S/=/3=1/3
R=1/3.
Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, означает точки М и N лежат на окружности с поперечником AС. По условию lt;AВС острый, т.е. меньше 90. 
Тогда lt;AСВ =lt;AСN = 180-lt;AMN =lt;BMN.
Означает CBА и MBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС.
Из прямоугольного ВАN найдем ВN/ВА=cos B.
МN/АС=cos B
MN=2cos B.
Также по аксиоме синусов MN=2R*sin B=2sin B/3
Приравниваем 2cos B=2sin B/3
sin B/cos B=3
tg B=3
lt;B=60
Означает lt;ВСМ=180-90-60=30
Ответ: 30