2.Сформулируйте признаки параллелограмма. Докажите, что если в четырехугольнике

Для того, чтоб найти является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Осмотрим три главных признака параллелограмма.



1 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Подтверждение:

Осмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она поделит данный четырехугольник на два одинаковых треугольника: ABD и CBD.



Эти треугольники одинаковы меж собой по двум граням и углу меж ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а как следует угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при скрещении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны меж собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD обратные стороны попарно параллельны, и, означает, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике обратные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она поделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.



Эти два треугольника буду одинаковы меж собой по трем граням (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой скрещения делятся напополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Осмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой напополам.



Треугольники AOB и COD будут одинаковы меж собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Как следует, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB одинаковы CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.