Составить четыре задачки на применение формул длины окружности и дуги, площади

Пусть C и C - длины окружностей радиусов R и R. Впишем в окружности правильные многоугольники.

Pn и Pn - их периметры, an и an - стороны.

Pn = n an = n 2R Sin

Pn = n an = n 2R Sin

Тогда 

Зная, что периметры Pn и Pn - приближенные значения длин окружностей C и C, при n , получаем

Но в силу равенства получаем 

По свойству пропорции 

Значение величины ("пи") приближенно одинаково 3,14.

***

Задачка 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2R = 2 3,14 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R == = 13,1

Если C = 18, то радиус окружности R == = 9

***

Задачка 125.

Дано:

a - сторона правильного треугольника

Найдите: длину описанной окружности

Решение:

Т.к. сторона правильного многоугольника

an = 2R Sin (), тогда сторона правильного треугольника

a = R  R = 

Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2R = 

***

Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой .

Градусная мера окружности 360,

Длина окружности C = 2R

Длина дуги в 1 одинакова 

Тогда длина дуги окружности в градусах:

***

Задача 126.

Дано:

радиус R= 6 см,

угол дуги

Отыскать: длину дуги окружности

Решение:

1) L =  30 =  30 = (см)

2) L =  45 =  3 = 1,5 (см)

3) L =  60 = 2 (см)

4) L =  90 = 3 (см)

***

Задача 127.

Дано:

ABCDEF - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника S6 = 24 см2

Отыскать: чему одинакова длина описанной окружности C = ?

Решение:

C = 2R

Означает, нужно отыскать радиус описанной окружности.

Площадь шестиугольника определяется по формуле

S6 =  P6  r6

Радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6 = R Cos  =  R

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R

Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 a6 = 6R (см)

S6 =  P6  r6 =  6R   R = 1,5R2

24= 1,5R2

R2 = = 16  Получаем радиус описанной окружности

R = = 4 (см)

Тогда длина описанной окружности одинакова

C = 2R = 2 4 = 8 (см)

Ответ: 8 см.

***

Задачка 128.

Дано:

ABCD - квадрат,

сторона квадрата AB = a

Отыскать: длину вписанной окружности C = 2 r = ?

Решение:

r4 = R Cos  = R Cos 45 = R

C = 2 r = 2  R = R

AB = a = 2r = R. Значит, C = R= a

Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = a

***

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) описанная около следующих фигур

1) ABC вписанный прямоугольный треугольник;

a, b катеты

2) ABC вписанный равнобедренный треугольник;

a основание, b сторона

3) ABCD вписанный прямоугольник,

BC = a сторона прямоугольника,

острый угол меж диагоналями

Отыскать: длину описанной окружности C = 2R = ?

Решение:

1)

2R = AB  R = AB

AB = 

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

C = 2    =

2)

BH = = 

Площадь треугольника одинакова половине творения основания на вышину

SABC = BH AC =  (1)

Но площадь треугольника можно также найти через деление творения 3-х его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

SABC =  =  (2)

Используя равенства (1) и (2), получаем

=  R =