помогите с задачей:( пол часа мучаюсь с ней, одну решила,

Проведем высоту из О к стороне AC (обозначим этот отрезок OK). Проведем также линию OA. То есть площадь треугольника можно разбить на 4 треугоника типа AOD и два (симметричных условно высоты CD) треугольника типа CKO.

Если брать за 10 условных единиц вышину CD размеры сторон обрисованных выше прямоугольных треугольников составят:

CO = 6, KO = 4 и по теореме Пифагора KC = корень(6*6 - 4*4) = корень(20) = 2*корень(5);

OB = 4, AD (из подобия ACD и CKO) = KO*CD/KC = 4*10/корень(20) = 2*корень(20)=4*корень(5) и опять по аксиоме Пифагора  OA = корень(4*4+4*20) = корень(96) = 4*корень(6).

Основание треугольника в условных единицах AB = 2*AD = 8*корень(5).

Периметр (в наших условных единицах) составит  2*KC + 4*AD = 4*корень(5) + 4*4*корень(5) = 20*корень(5), в то время как известно, что он равен 40. То есть коэффициент пересчета условных единиц в натуральные составит 2/корень(5).

Теперь переведем основание треугольника из уловных единиц  8*корень(5) в естественные и AB = 8*корень(5)*2/корень(5) = 16

Решение бестолковое, но вроде бы правильное.

Можно и много короче, не так глупо в лоб, также через сходственные треугольники ACD и COK.

Типа такого: AC/AD = CO/OK = CO/OD = 0.6/0.4.  Ввиду того, что AD = DB, a AC = CB получаем (AC+CB)/(AD + DB) = (AC+CB)/AB = 0.6/0.4. Либо  (AC+CB +AB)/AB = P/AB = 0.6/0.4 + 1 = 2.5. То есть AB = P/2.5 = 40/2.5 = 16