В правильной четырехугольной пирамиде MABCD тангенс угла наклона апофемы к плоскости

Эта задачка имеет 2 варианта решения:
 1) геометрический,
 2) векторный.

1) Из условия расположения точки К (точка К лежит на стороне основания AB и разделяет ее в отношении 1:5, считая от А) примем длину стороны основания, равной 6.
Вышина пирамиды будет равна (6/2)*tg = 32.
Апофема А одинакова ((32)+3) = (18+9) = 27 = 33.
Обретаем длину отрезка КМ в плоскости грани АМВ:
КМ = (((6/2)-1)+А) = (4+27) = 31.
Надо отыскать проекцию КМ на плоскость ДМС.
Одна точка  - это точка М.
2-ая находится как точка скрещения плоскости ДМС перпендикуляром из точки К.
Для этого проведём секущую плоскость через точку К перпендикулярно ДС. В сечении имеем линию наибольшего наклона плоскости ДМС к плоскости основания.
По заданию этот угол равен arc tg 2 =  0,955317 радиан = 54,73561.
Перпендикуляр пересекает плоскость  ДМС в точке Р.
КР = 6*sin .
Синус обретаем через данный тангенс:
sin  = tg /((1+tg) = 2/(1+2) = 2/3.
Тогда КР = 6*(2/3) = 26.
Сейчас надо отыскать положение точки Р.
Опустим перпендикуляр h из точки Р на основание пирамиды.
h = KP*sin(90-) = KP*cos .
cos  = (1 - sin) = (1 - (2/3)) = 1/3.
h = РT = (26)*(1/3) = 22. (Т - это проекция точки Р на основание).
КТ = (КР - h) = (24 - 8) = 16 = 4.
Проекция РМ на основание одинакова (2+1) = 5.
По вертикали это разность высот точек М и Р: 32 - 22 = 2.
Отсюда длина РМ равна (5+2) = 7.
Найдены длины сторон треугольника КРМ с искомым углом КМР:
РМ = 7, КМ = 31, РК = 26.
По аксиоме косинусов находим lt;КМР = :
cos  = (7+31-24)/(2*7*31) = 14/29,46184 = 0,475191.
=  1,07561528 радиан = 61,6282156.

  2) Решение по этому варианту дано в прибавленьи.
Пирамиду располагаем в прямоугольной системе координат точкой Д - в начале, АД - по оси Ох, СД - по оси Оу.
А(6;0;0),В(6;6;0), С(0;6;0), Д(0;0;0), М(3;3;32), К(6;1;0) и Р(2;1;22).
По трём точкам обретаем уравнение плоскости ДМС, по двум - уравнение прямой КМ и затем угол меж ними.