Окружность дотрагивается сторон треугольника, длины которых одинаковы 9, 10 и 11.

Пусть в треугольнике АВС стороны одинаковы:
АВ (с) = 11, ВС (а) = 9 и АС (в) = 10,

Можно задачку решать так:
 - обретаем площадь по Герону: 
   S = (р(р-а)(р-в)(р-с) = (15*6*4*5) = 1800 = 302.
 - радиус вписанной окружности r = S/p = 302/15 = 22.
 - по аксиоме косинусов находим угол А:
   cos A = (b+c-а)/(2bc) = 0,636364.
   A = arc cos  0,636364 =  0,881021 радиан = 50,4788.
Тогда разыскиваемый отрезок от точки А до точки М (точка касания) равен:
АМ = r/tg(A/2) = 22/ 0,471405 =  6.

Но есть обычное решение:
АМ = р - а = 15 - 9 = 6.