Катеты прямоугольного треугольника = 3 и 4 см.Отыскать расстояние от т.

Есть простое решение, использующее свойство медиан: три медианы треугольника разделяют его на 6 равновесных (схожей площади, но не одинаковых) треугольников.
Данный нам треугольник АВС Пифагоров (его стороны равны 3,4 и 5 см).
Sabc=6см и каждый из треугольников имеет площадь, одинаковую 1см.
Тогда искомое расстояние - вышина треугольника (1-го из 6)  с катетом на гипотенузе AB.  h=2S/АM = 2/(2,5)=0,8 см.

Но для практики решим эту задачку через формулу медианы треугольника, свойство медиан, делящихся точкой скрещения в отношении 2:1, считая от верхушки и формулу Герона для площади.
Пусть в треугольнике АВС lt;С=90 и стороны АС=b=3, ВС=а=4 и АВ=с=5.
Найдем медианы Ма и Мc по формуле:
Ma=(1/2)*(2b+2c-a).
Ma=(1/2)*(2*(3)+2*(5)-4)=(1/2)*(18+50-16)=52/2.
Mc=(1/2)*(2*(3)+2*(4)-5)=(1/2)*(18+32-25)=5/2.
Тогда отрезки медиан:
АО=(2/3)*(52/2)=213/3.
ОМ=(1/3)*(5/2)=5/6.
В треугольнике АОМ имеем (сразу приведя к общему знаменателю):
АМ=5/2 = 15/6.
АО=213/3=413/6.
ОМ=5/6.
Периметр Р=(20+413)/6. Полупериметр р=(10+213/6).
Тогда по формуле Герона  Sabc=[p(p-a)(p-b)(p-c)] имеем:
Sаom=[(10+213)*(10+213-15)*(10+213-413)*10+213-5)]/36.  Либо:Sаom=[(10+213)*(213-5)*(10-213)*(213+5)]/36.
Мы лицезреем, что у нас под корнем творенье разности квадратов:
Sаom=[(10-(213))*((213)-5)/36 = (48*27)/36=36/36 =1.
Итак, мы пришли к началу:
Искомое расстояние (высота ОН, проведенная к основанию АМ треугольника АОМ: ОН=2Sbom/АМ = 2/2,5 = 0,8.
Ответ: ОН=0,8см.

P.S. Решение приведено для тех, кто не любит формулу Герона, тем более, когда в полупериметре встречаются корешки. Чаще всего (если не всегда) приходим к творенью разности квадратов в подкоренном выражении.