В треугольнике ABC даны длины сторон: AB=c, AC=b, BC = А.

Осмотрим только один случай из 3-х . 
ABC-треугольник , опустим вышину CH на сторону AB и AF на сторону BC , центр вписанной окружности лежит в точке скрещения биссектрис, положим что DE AC опустим перпендикуляры OL=r и OG=r на  стороны AB и BC соответственно (r-радиус вписанной окружности). 
Из подобия треугольников ODL и CAH получаем  
 DO/LO = AC/CH = 1/sin(BAC) 
 DO=r/sin(BAC) 
 Но  r=S/p = AB*AC*sinA/(AB+AC+BC) означает
 DO=AB*AC/(AB+AC+BC) = b*c/(a+b+c) 
Аналогично  
OE/OG=AC/CF=1/sin(ACB) 
OE=r/sin(ACB) 
OE=AC*BC/(AC+BC+AB) = a*b/(a+b+c)
Означает DE=DO+OE=b(a+c)/(b+a+c)  

Другие так же, отрезок параллельный AB  c(a+b)/(a+b+c), BC a(b+c)/(a+b+c)