из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведен перпендикуляр DM

проведём из точки D  перпендикуляр. из точки В опустим перпендикуляр ВК, который является и медианой, тогда АК=КС. Отрезки ВК и DМ паралельны, так как они перпендикулярны к одной прямой АС. По аксиома Фалеса, если паралельные прямые отсекают на одной стороне угла равные меж собой отрезки (ВD = DС), то и на иной стороне угла эти паралельные прямые отсекут одинаковые меж собой отрезки. означает КМ = МС. АК=КС=6 см; КМ=Мс=3 см; значит АМ = 6+3=9см.

По условию треугольник АВС - равносторонний, означает угол С=60град., сторона ВС=12см. По условию Д-середина стороны ВС, значти ВД=ДС. Треугольник ДМС-прямоугольный, т.к. ДМ-высота по условию, значит если угол С=60град., то угол МДС=30град. против угла в 30град. лежит катет АС, а по свойству угла в 30град., в прямоугольном треугольнике сторона АС=3см(половине гипотенузы ДС). АС=12(треугольник АВС - равносторонний по услов), означает АМ=АС-МС=12-3=9см