В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB равной 12 см проведена

Катет ВС лежит против угла в 30, означает ВС=АВ/2=6 см.
АС=(АВ-ВС)=63 см.

Вышина прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет его на два сходственных треугольника, каждый из которых сходствен начальному.
АС/ВС=АН/СН
и
АС/ВС=СН/ВН.
Перемножим два уравнения:
АС/ВС=АН/ВН.

Пусть АН=х, тогда ВН=АВ-АН=12-х.

(63)/6=х/(12-х),
3=х/(12-х),
36-3х=х,
4х=36,
х=9.

АН=9 см, ВН=12-9=3 см - это ответ.