К оркужности, вписанной в тругольника ABC, проведены три касательные , которые

Превосходная задачка. Она базирована на очень главном факте, который я бы включил в число самых основных теорем планиметрии. 

Теорема. Пусть окружность дотрагивается стороны BC треугольника ABC в точке A' и продолжений сторон AB и AC соответственно в точках C' и B'. Тогда AC'=AB'=p - полупериметр треугольника. Кстати, такая окружность называется вневписанной по отношению к треугольнику.

Подтверждение этой теоремы, если вникнуть, почти явно. Предлагается получить его без помощи других. Либо оформить в виде отдельного задания, приложив красивый чертеж.

Переходим к главной задачке. Данная окружность, являясь вписанной для треугольника ABC, является также вневписанной для 3-х маленьких. Потому отрезки сторон треугольника ABC от вершин до точек касания одинаковы полупериметрам соответствующих треугольников. А периметр треугольника ABC равен сумме периметров 3-х малюсеньких P=18+5+6=29

Ответ: 29