Площадь трапеции равна ABCD 90, а одно из оснований трапеции в два раза

Площадь трапеции одинакова ABCD 90, а одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Диагонали пересекаются в точке О, отрезки, объединяющие середину Р основания AD с верхушками В и С, пересекаются с диагоналями трапеции в точках М и N соответственно. Найдите площадь четырехугольника OMPN.

Задать свой вопрос
1 ответ
АД=2ВС, S(АВСД)=90, ЕК - высота, ЕК=Н.
S(ОМРN)=?

В трапеции треугольники АОД и ВОС сходственны (свойство трапеции), означает ЕО:ОК=ВС:АД=1:2  ОК:ЕК=2:3. ОК=2Н/3.

Пусть ВС=х, тогда АД=2х.
Площадь трапеции АВСД: S(АВСД)=Н(х+2х)/2=3Нх/2.
S(АОД)=АДОК/2=2х2Н/6=2Нх/3.

АВСР и РВСД - параллелограммы так как ВС=АР=РД и ВСАД. 
Диагонали параллелограммов пересекаются в точках М и N, которые находятся в центрах параллелограммов, означает точки М и N лежат на средней полосы трапеции, как следует вышины треугольников АМР и PND, опущенные на прямую АД, равны Н/2.
Площади треугольников АМР и PND одинаковы т.к. их основания и высоты одинаковы.
S(АМР)=хН/4.

Сейчас, S(OMPN)=S(AOД)-2S(АМР)=2Нх/3-Нх/2=(4Нх-3Нх)/6=Нх/6.

Найдём отношение известных площадей:
S(АВСД):S(ОМРN)=(3Нх/2):(Нх/6)=9:1

Итак, S(ОМРN)=S(АВСД)/9=90/9=10 - это ответ.
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт