Сформулировать и обосновать аксиому Наполеона (желанно, но не непременно -для наружного

Я только про наружные - мне занимателен подход к задачке, я ради него и выкладываю решение.
На гранях случайного треугольника построены правильные треугольники. Обосновать, что центры тяжести этих треугольников - верхушки правильного треугольника.
До этого, чем начать подтверждение, посмотрите на чертеж.
На чертеже представлено периодическое покрытие плоскости треугольниками, подходящее условию задачки. Собственно условие обведено красным в левом верхнем углу чертежа (просто для демонстрации). На плоскости находятся треугольники, приобретенные обычным смещением начального, а также - приобретенные их их поворотом на 120 и 240 градусов (и правильные треугольники треух различных в общем случае размеров). Само покрытие (на практике) получено просто параллельным переносом фигуры, обведенной фиолетовым цветом. Это неправильный шестиугольник с параллельными противоположными сторонами. Здесь могут появляться вопросы типа "а почему стороны параллельны?". Это очень просто доказывается сравнением углов меж прямыми (по сущности там всюду задействованы углы начального треугольника и угол 60 градусов).
В качестве ячейки можно было бы избрать любой из вариантов, обведенных сиреневым цветом, эти ячейки получаются из фиолетового поворотами на 120 и 240 градусов.)
Теперь - подтверждение.
В правой стороне чертежа изображена неправильная шестивершинная звезда. Построена она так - избран какой-то правильный треугольник (проще всего, если - с наибольшей стороной). К каждой из его сторон "пристроены" треугольники, одинаковые начальному, а на их гранях построены правильные треугольники (подсказываю, все это является частью покрытия, то есть появилось просто в итоге неоднократного размножения фиолетовой ячейки). Просто видеть, что если соединить центры треугольников при верхушках звезды (темно зеленый шестиугольник), то эта фигура будет инвариантна условно поворотов на 120 и 240 градусов (вокруг центра "большого правильного треугольника в центре звезды) - то есть у них одинаковы стороны "через одну". Но также явно, что одинаковы обратные стороны, они получаются друг из друга параллельным сдвигом. Совместно эти два утверждения означают, что это верный шестиугольник (можно узреть равенство сторон и по другому - они объединяют сходственные точки в разных "ячейках"). Диагонали этого шестиугольника проходят через центр симметрии фигуры и разделяют его на 6 правильных треугольников, каждый из которых заканчивает подтверждение - верхушки каждого из их удовлетворяют задачке.
И ни одной формулы. :)