В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Поскольку боковые грани пирамиды образуют одинаковые двугранные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит или через центр вписанной, или через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания. Пусть высота пирамиды проходит через центр O вписанной окружности основания ABC данной треугольной пирамиды ABCD , в которой AC = 3 ,BC = 4 , AB = 5 . Так как 

AC2 + BC2 = 9 + 16 = 25 = AB2,
то треугольник ABC  прямоугольный. Пусть O центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.1), r  её радиус, M  точка касания окружности со стороной AB . Тогда 
r = (AC + BC - AB) = (3+4-5) = 1.
Так как OM  AB , то по аксиоме о трёх перпендикулярах DM  AB , потому DMO  линейный угол двугранного угла меж боковой гранью DAB и плоскостью основания пирамиды. По условию задачки  DMO = 45o . Из прямоугольного треугольника DMOнаходим, что 
DO = OM = r = 1.
Пусть Oc центр вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся стороны AB (рис.2), rc  её радиус, N  точка касания окружности со стороной AB . Тогда 
rc = (AC + BC + AB) = (3+4+5) = 6.
Подобно предшествующему из прямоугольного треугольника DNOнаходим, что 
DOc = ON = rc = 6.
Пусть Ob  центр вневписанной окружности треугольника ABC , дотрагивающеюся стороны AC , rb  её радиус, K  точка касания окружности со стороной AC . Тогда 
rb =  (AB + BC - AC) = (5+4-3) = 3.
Из прямоугольного треугольникаDKO обретаем, что 
DOb = OK = rb = 3.
Пусть Oa центр вневписанной окружности треугольника ABC , дотрагивающейся стороны BC , ra  её радиус, L  точка касания окружности со стороной AC . Тогда 
ra = (AB + AC - BC) = (5+3-4) = 2.
Из прямоугольного треугольникаDLO обретаем, что 
DOa = OL = ra = 2.