Через точку А сферы с центром в точке О проведены две

Определения: "Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, величается касательной плоскостью, а общая точка - точка касания. Плоскость , проведенная через конец радиуса, лежащего на сфере, перпендикулярно радиусу, есть касательная плоскость".
В нашем случае плоскость MAN - касательная плоскость. Она перпендикулярна радиусу АО сферы.
Итак, АОплоскости MAN, означает АО перпендикулярна Хоть какой прямой в плоскости MAN. Как следует, АО MN.
MN AN (дано), MN AO, а АО и AN - скрещивающиеся прямые.
Как следует, ровная MN перпендикулярна плоскости ANО, так как она
перпендикулярна двум скрещивающимся прямым, лежащим в плоскости ANO.
Если одна из 2-ух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную иной плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Означает плоскость MNO, проходящая через прямую MN, перпендикулярна
плоскости ANO, то есть угол между этими плоскостями равен 90.
Ответ: угол меж плоскостями ANO и MNO равен 90.

Решение этой задачки координатным способом.
Заметим, что точки M и N на касательных АМ и AN связаны меж собой
только условием MNAN, следовательно, отрезки АN и AM могут быть
случайной длины. Радиус сферы не дан, примем его равным 1.
Поместим начало координат в центр сферы - точку О.

Вариант1. Пусть AN=AO=R=1. Тогда из треугольника AMN:
АМ=AN/Cos30=1*2/3 = 23/3. Это координата Хm точки М.
NM=3/3 (катет против угла 30 градусов).
NH - высота из прямого угла и по свойству такой вышины
NH=AN*NM/AM = (1*3*3)/(3*23) = 1/2.
Заметим, что NН - координата Yn точки N.
Координату Xn=AH точки N найдем по Пифагору:
Xn=(AN-NH) =  (1-1/4) = 3/2.
Итак, мы имеем координаты всех необходимых точек:
O(0;0;0), A(0;0;1), M(23/3;0;1), N(3/2;1/2;1).
Запишем уравнение плоскости OAN(ANO) по формуле:
x-Xo Xa-Xo Xn-Xo
y-Yo Ya-Yo Yn-Yn = 0.
z-Zo Za-Zo Zn-Zo
Имеем:
x-0 0 3/2
y-0 0  1/2 = 0. =gt; x(-1/2) -y(-3/2)+z*0 =0 либо
z-0 1   1
(1/2)x-(3/2)y-z=0 - общее уравнение плоскости ANO с коэффициентами
А1=1/2, B1=-3/2, C1=0.
Запишем уравнение плоскости ONM(MNO):
x-0 23/3 3/2
y-0    0       1/2 = 0. =gt; x*(-1/2) -y*(23/3-3/2)+z*(23/6)=0 либо
z-0    1         1
(1/2)x+(3/6)y-z(23/6)=0 - общее уравнение плоскости MNO с коэффициентами
А2=1/2, B2=3/6, C2=23/6.
Формула косинуса угла меж плоскостями:
Cos = A1*A2+B1*В2+C1*C2/(((A1+B1+C1)*(A2+B2+C2).
В нашем случае:
Cos = 1/4-1/4+0/(((A1+B1+C1)*(A2+B2+C2)=0, так как числитель равен 0.
Ответ: = 90.

Вариант2. Пусть AМ=AO=R=1. Тогда из треугольника AMN:
АМ=1. Это координата Xm точки М.
MN=1/2 (катет против угла 30 градусов).
Cos30 = AN/AM=3/2. =gt; AN=3/2.
Заметим, что NН - координата Yn точки N.
NH=AN*NM/AM = (3/2)*(1/2)*1=3/4.
Координату Xn=AH точки N найдем по Пифагору:
Xn=(AN-NH) =  (3/4-3/16) = (9/16) = 3/4.
Точки:
O(0;0;0), A(0;0;1), M(1;0;1), N(3/4;3/4;1).
Запишем уравнение плоскости ONA(ANO):
x-0  3/4  0
y-0 3/4 0 = 0. =gt; x(3/4) -y(3/4)+z*0 =0.
z-0   1    1
Это общее уравнение плоскости ANO с коэффициентами
А1=3/4, B1=-3/4, C1=0.
Запишем уравнение плоскости ONM(MNO):
x-0   3/4  1
y-0  3/4 0 = 0. =gt; x*(3/4) -y*(3/4-1)+z*(-3/4)=0 либо
z-0    1    1
(3/4)x+(1/4)y-z(3/4)=0 - общее уравнение плоскости MNO с коэффициентами
А2=3/4, B2=1/4, C2=-3/4.
Формула косинуса угла меж плоскостями:
Cos = 3/16-3/16+0/(((A1+B1+C1)*(A2+B2+C2)=0,
так как числитель равен 0.
Ответ: = 90.