В правильном треугольнике ABC выбрали произвольную точку M и опустили из

Осмотрим точку M, которая совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC; Так как точки A1, B1, C1 - концы медиан, проведенных к соответствующим граням, то все слагаемые в сумме равны, равенство явно. Осмотрим вышину BB1; Точка M лежит на ней. Будем двигать точку М по этой вышине. BC1 и A1B остаются одинаковыми уменьшаясь, а AC1 и A1C увеличиваясь, также остаются одинаковыми. Отрезки AB1 и B1C остаются одинаковыми. Значит равенство сохраняется. Проведем сейчас прямую перпендикулярную вышине BB1; Пусть угол меж этой прямой и перпендикуляром, проведенным из точки M (на рис. она в центре) равен . Заметим, что =60/2=30; Пусть сдвиг точки по прямой равен x; С одной стороны, одна сумма поменялась на величину -xsin - xsin + x = -x+x=0; Другая значит тоже изменилась на 0. Итак, сумма осталась постоянной. Мы двигали точку в 2-ух ортогональных направлениях. Используя суперпозицию (наложение движений) приходим к выводу, что равенство выполняется при любом положении точки M