Нужно доказать почему угол ABC равен углу ABC1.

Оба угла - прямые и соответственно одинаковы меж собой.

ABC - угол при верхушке вписанного треугольника у которого противолежащая сторона является диаметром описанной окружности - то есть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом B.

Для треугольника ABC1 нетрудно выразить квадраты сторон:
AB^2 = AB^2
AC1^2 = AC^2 + h^2 (по теореме Пифагора, где h - вышина цилиндра)
BC1^2 = BC^2 + h^2 (также по теореме Пифагора)
то есть для этого треугольника производится  теорема Пифагора
AC1^2 = BC1^2 + AB^2
или  
AC^2 + h^2 = BC^2 + h^2 + AB^2
или 
AC^2 = BC^2 + AB^2
Поскольку ABC прямоугольный, то заключительнее равенство подлинно, стало быть правильно и начальное предположение про прямоугольность ABC1

Так что см. 1-ое предложение.