В остроугольном треугольнике АВС проведены вышины АЕ и СК. Площади треугольников

Решение во вложении.

Ради энтузиазма заглянула в то самое решение, которое Вы окрестили "страшным". Оно полностью для себя верное и даже благовидное, но я разумею, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой способ решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.

Поначалу доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они сходственны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе доли на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Беря во внимание, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также сходственны.

Отыскиваем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей сходственных треугольников.

Из подобия треугольников получаем дела сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы просто обретаем КЕ.

Далее используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Ступень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к граням наименьшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.

Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 =gt; cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).

Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.

Вот и все решение. Ответ: 3/4 см.