Обоснуйте, что отрезок соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника

решение смотри в файле.

Осмотрим четырехугольник ABCD; Пусть в нем диагональ AC зафиксирована, то есть имеет постоянную длину. Минимальная полусумма диагоналей выходит тогда, когда 2-ая диагональ имеет нулевую длину. В таком случае точка B перебегает в точку D. Осмотрим отрезок MN - тот, что объединяет середины сторон BC и AD. Он сместился в точку M', причем MN BD, поскольку B сместилась в D. Точка N осталась на минувшем месте. Получили треугольник ACD в котором M'N - средняя линия. Потому , но мы рассматриваем четырехугольник, никакие две верхушки которого не лежат друг на друге. Значит, в остальных случаях