Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 одинакова 3. На луче A1C отмечена точка

А) Осмотрим пирамиду СBDC1. В ее основании лежит правильный треугольник BDC1, интеллигентный диагоналями граней куба. Боковые стороны пирамиды - стороны куба. Как следует, верхушка С этой пирамиды проецируется в центр О основания.
Рассмотрим пирамиду А1BDC1. В ее основании лежит верный треугольник BDC1, интеллигентный диагоналями граней куба. Боковые стороны пирамиды - так же диагонали граней  куба. Следовательно, верхушка С этой пирамиды (правильного тетраэдра, так как все его ребра одинаковы) проецируется в центр О основания.
Итак, точки А1, О и Р лежат на одной прямой, так как А1Р - ровная (дано), при этом отрезок А1С этой прямой равен 3 (дано), а отрезок А1Р=4. Как следует, отрезки А1О=ОР=2.
Таким образом,  прямоугольные треугольники (А1О и РО - высоты тетраэдров) одинаковы: А1С1О=РС1О, A1DO=PDO, A1BO=PBO по двум катетам. Означает PC1=C1A1, PD=DA1 и РВ=ВА1 =gt;  все стороны тетраэдра РВDС1 равны диагоналям граней.
Итак, РBDC1 - верный тетраэдр, что и требовалось доказать.

б) Длина отрезка АР - сторона треугольника АА1Р, в котором Cos(lt;AA1P)=AA1/A1С.
А1С - диагональ куба и одинакова 3(дано). Диагональ куба одинакова а3,
где а - сторона куба. Отсюда АА1=3/3=3. тогда Cos(lt;AA1P)=3/3.
по аксиоме косинусов: АР=АА1+А1Р-2*АА1*А1Р*Cos(lt;АА1Р) или
АР=3+16-2*3*4*(3/3) = 11.
Ответ:АР=11.