Даны ровная m и на ней точки А и В. Проводятся

классная задачка. Решение - это окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом = половине АВ, не считая, природно точек А и В. Они "выколоты". Подтверждение чуть длинное, необходимо поразмыслить.

Как раз просто здесь :) если через точку касания провести общую касательную, она пересечет AB в её середине (здесь ничего не надобно подтверждать - это просто по свойству касательных из одной точки )

То есть точка касания лежит на расстояниb AB/2 от середины AB.

Спасибо огромное!!))))

Все правильно, задачка занимательная, но доказательство... Вы исходили из того, что точки касания лежат на окружности, а надо напротив - точки касания сочиняют окружность. Это доказывается вполне просто.

Мда. Я не исходил... :) Удивительно, мне казалось, что я максимально ясно растолковал. Есть точки A и B на прямой m, окружности (в случайном случае, при всех вероятных радиусах) дотрагиваются друг друга и прямой m. Это значит 1) AB - наружная общая касательная к окружностям. 2) на полосы цетров всегда есть точка наружного касания этих окружностей

В случайном случае (вновь таки) в точке касания существует общая касательная (перпендикулярная линии центров). Эта касательная пересекает прямую AB внутри отрезка AB в какой то точке, которую можно обозначить M. Заметьте - я еще ничего не произнес и не сделал, просто "развил" условие задачи. А вот теперь - наконец - решение. Из характеристики касательных к окружности, проведенных из одной точки, MA = ME; и ME = MB; где E - точка касания окружностей

То есть 1) MA = MB = AB/2; самостоятельно от радиусов окружностей 2) ME = AB/2; это полное, завершенное и безусловно четкое подтверждение того, что все вероятные точки E лежат на окружности с центром в середине AB и радиусом AB/2

Извините, на свое известье я направлял не Для вас, а ответившему.

Решение гляди в файле

   Центры окружностей касательных  прямой m в точках А и В лежат на перпендикулярах к этой прямой проведенных в этих точках.
   Проведем окружности дотрагивающиеся друг друга в точке С и прямой в точках А и В.  
   Центры этих окружностей лежат на пересечении перпендикуляров от А и В и серединных перпендикуляров АС и ВС. 
   Проведем касательную прямую СО. Она пересекает прямую АВ в точке О.
   По свойству касательных, проведенных из одной точки ОА=ОС и ОС=ОВ. Означает ОА=ОВ и точка О середина АВ. 
  ОС медиана треугольника АВС.
  Если медиана равна половине стороны к которой проведена, то угол этого треугольника прямой и  треугольник - прямоугольный с гипотенузой равной поперечнику окружности описанной вокруг него. 
 Следовательно: огромное количество искомых точек - вершины прямоугольных с общей треугольников гипотенузой АВ обрисованных окружностью с поперечником АВ.