Обоснуйте, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного

Отрежем от ромба его диагональю треугольник. Если ромб был АВСД, то берём треугольник АВС. Он равнобедренный, т.к. АВ=ВС. Означает отрезок, объединяющий середины сторон АВ и ВС является средней чертой равнобедренного треугольника, а значит этот отрезок параллелен основанию АС.
Подобно повторяем рассуждения для треугольника AДС, и разумеем, что отрезок, объединяющий середины сторон АД и ДС есть средняя линия, означает он параллелен АС.
Итак, имеем, что обе средние линии - треугольников АВС и АДС параллельны диагонали ромба АС, как следует они параллельны друг другу.

Повторяем те же рассуждения для второй диагонали ромба - ВД, и так же получаем параллельность 2-ой пары отрезков.

Следовательно, четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба, является параллелограммом. 

Далее, из симметрии ромба, подмечаем, что обе диагонали этого получившегося четырёхугольника проходят через центр ромба, и равны между собой.

Параллелограмм, у которого диагонали равны - это и есть прямоугольник - что и требовалось доказать.

Ну, я бы так доказывал. Может кто-нибудь предложит более обычный метод.