обоснуйте, что сумма медиан треугольника меньше его периметра! помогите пожалуйста)

АК, ВМ и СТ - медианы треугольника АВС.

Надобно доказать, что АК + ВМ + СТ lt; АВ + ВС + АС.

Отложим на луче АК отрезок КО = АК.

КО = АК по построению, ВК = КС, так как АК медиана.

Если в четырехугольнике диагонали точкой скрещения делятся пополам, то это параллелограмм.

Значит АВОС - параллелограмм. Тогда ВО = АС.

Любая сторона треугольника меньше суммы 2-ух иных сторон, означает в треугольнике АВО: АО lt; AB + BO, а означает и 2АК lt; АВ + АС, т.е.

АК lt; 1/2 (АВ + АС)

Аналогично, построив параллелограммы с диагоналями, содержащими две другие медианы, докажем , что

ВМ lt; 1/2 (ВА + ВС) и

СТ lt; 1/2 (СА + СВ)

Сложим эти три неравенства:

АК + ВМ + СТ lt; 1/2 АВ + 1/2 АС + 1/2 ВА + 1/2 ВС + 1/2 СА + 1/2 СВ

АК + ВМ + СТ lt; АВ + АС + ВС

АК + ВМ + СТ lt; Рabc