Биссектрисы углов B и C  трапеции ABCD пересекаются в точке O,лежащей

Проведем из О к обозначенным граням трапеции перпендикуляры к АВ -а, к ВС - е, к СD-у 

Осмотрим ВОа и ВОе. Они прямоугольные , имеют общую гипотенузу ВО и по одинаковому острому углу при В. 

            Если гипотенуза и прилежащий к ней угол одного прямоугольного треугольника соответственно одинаковы гипотенузе и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники одинаковы. 

катет аО = еО

Подобно доказывается равенство катетов еО и уО треугольников СОе и СОу. 

Отрезки Оа, Ое, Оу равны и как перпендикуляры от точки до прямой, являются расстоянием от О до  АВ, до ВС и до AD. 

Т.е. О - равноудалена от прямых  АВ,  ВС и AD, ч.т.д.

Как вариант: Из  аксиомы:

Любая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, следует: 

Точка О - общая для  биссектрис 2-ух углов с общей стороной ВС, как следует, равноудалена от прямых, содержащих их стороны.