Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, дотрагивается основания АС в точке

P - точка касания BC с окружностью.  
Светло, что NP II AC;
из подобия РАВНОБЕДРЕННЫХ треугольников NPK и AKC NP/AC = KN/CK =1/5;
из подобия равнобедренных треугольников NPB и ABC BP/BC = NP/AC = 1/5;
то есть  BP = BN = 1; AN = AM = MC = CP = 4; 
AC = 8; AB = BC = 5;
BM делит ABC на два "египетских" треугольника (3,4,5), то есть BM = 3;
R = 5*5*8/(4*8*3/2) = 25/6;

Вновь таки теорема Ван-Обеля CP/PB + CM/AM = CK/KN; здесь же дает CP/PB = 4; то есть CP = 4; PB = 1; в этой задаче получить это "обычным" методом тоже не трудно, но это вновь "обходной" путь.