В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 10 проведена медиана, равная 153.

Задачу можно решать различными методами.

Ниже предложены два с  самыми ординарными, на мой взор, вычислениями. 

1)

Формула медианы треугольника

М=0,5(2a+2b-c). где а и b стороны, меж которыми проведена медиана, с - сторона, к которой она проведена. 

Обозначим треугольник АВС, АВ=ВС=10,  АС=х, медиана АМ=153

153=0,5(200+2x -100)

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

153= 0,25(100+2х) откуда

153:0,25=100+2х

2х=512

х=256 

х=16 

ВН - медиана, АН=СН=8

По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, ВН - его высота.

АВН прямоугольный. 

По т.Пифагора ( либо заметив, что АВН - египетский) обретаем длину медианы ВН=6.

Либо 

2) 

Продлим медиану АМ на её длину до точки Е, соединим В и С с т.Е. Четырехугольник АВЕС - параллелограмм ( по признаку: диагонали в т.скрещения делятся напополам). 

По свойству параллелограмма 

d+D=(2(a+b),  где d и D - диагонали параллелограмма, , а и b - его стороны. 

ВС+АЕ=2(АВ+АС) 

АЕ=2153

100+612=2(100+АС) 

АС=16

Медиана ВН находится, как в первом решении. .