Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, причём BM:BC=1:4.На продолжении

По аксиоме Менелая:
(АК/КВ)*(BM/MC)*(CN/NA)=1.
ВМ/ВС=1/4  =gt;  ВМ/МС = 1/3.
AN/CN=3/1 =gt; CN/AN=1/3.
Тогда
(АК/КВ)*(1/3)*(1/3)=1.
АК/КВ = 9/1.

Подтверждение  теоремы:
Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через Р ее точку скрещения с прямой KN.
Треугольники AKN и CPN сходственны (lt; KAN=lt;PCN,
lt; AKN=lt;CPN). Следовательно, AK/CP=NA/NC  (1).
Треугольники BKM и CPM сходственны (lt; BMK=lt;CMP, lt; BKM=lt;CPM). Следовательно, KB/CP=BM/MC  (2).
Из (1) СР=AK*NC/NA.
Из (2) СР=КВ*МС/ВМ.
Тогда AK*NC/NA = КВ*МС/ВМ  и
(AK*NC/NA)/(КВ*МС/ВМ)=1.  Или
(АК/КВ)*(ВМ/МС)*(NC\NA)=1.
Что и требовалось доказать.