Обратная теорема:Прямая,проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к

Аксиома. Ровная, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Рассмотрим последующий набросок.

AH - перпендикулярен плоскости . AM это наклонная в плоскости ; a - ровная, проведенная в плоскости через точку М перпендикулярно к проекции HM наклонной. Сейчас, докажем, что прямая а перпендикулярна АМ. Для этого рассмотрим плоскость AMH.

По условию ровная а перпендикулярна НМ. Также ровная а перпендикулярна АН, так как АН перпендикулярна плоскости . Прямые НМ и АН принадлежат плоскости АНМ и пересекаются. Из этих трех пунктов следует, что прямая а перпендикулярна плоскости АМН, означает, она перпендикулярна хоть какой прямой, которая принадлежит плоскости АМН.

Так как ровная АМ принадлежит плоскости АМН, означает ровная a и ровная АМ перпендикулярны меж собой. Что и требовалось доказать.

Так как в теореме находятся три перпендикуляра, АН, НМ и АМ, аксиома называется теоремой о 3-х перпендикулярах. Все три прямых угла показаны на рисунке, который приведен в начале доказательства. Помимо основной теоремы о 3-х перпендикулярах, существует и обратная аксиома о 3-х перпендикулярах.

Обратная аксиома  

Ровная, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Задача. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Знаменито, что АВ = АС = 5см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Отыскать расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение.

Пусть точка Е это середина ВС. Тогда ВС будет перпендикулярным АЕ. То есть АЕ будет расстояние от точки А до прямой ВС.

ЕА является проекцией DE на плоскость АВС. АЕ перпендикулярен ВС, а как следует по аксиоме о 3-х перпендикулярах DE будет перпендикулярен BC. Получаем, что DE - это расстояние от точки D до отрезка BC. Сейчас будем определять AE.

ВЕ = (1/2)*ВС = 3 см.

Так как треугольник АВЕ прямоугольный, то можем по аксиоме Пифагора отыскать АЕ.

АЕ^2 = AB^2-BE^2 = 25-9 = 16, как следует, АЕ = 4 см.

Ответ. 4 см.