Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,в основании которой лежит равнобедренный

AK = AB sin  = b sin  
BK = AB cos  = b cos  
SABK = AK * BK / 2 = b2sin  cos  / 2 

откуда 
SABС =   2SABK =   b2sin cos   
(примем за разыскиваемую площадь основания, дальше справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше) 

Если воспользоваться главными тригонометрическими тождествами, то 
b2sin cos = 1/2 b2sin 2 = 1/2 b2sin 2   
либо как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 
1/2 b2sin 2 = 1/2 b2sin (180 - )  =  1/2 b2sin  

Сейчас найдем площадь боковой поверхности пирамиды. 
Поначалу найдем высоту боковых граней, прилежащих к одинаковым сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, вышина боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда вышина боковой грани пирамиды одинакова: 
h = r / sin  

Длину радиуса вписанной окружности найдем как 
r = S/p

Беря во внимание, что BC = 2BK, то BC = 2b cos  
откуда 
p = ( b + b + 2b cos  ) / 2 
p = ( 2b + 2b cos  ) / 2 
p = 2b ( 1 + cos  ) / 2 
p = b ( 1 + cos  )

Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен 
r = S / p 
r = b2sin cos / b ( 1 + cos  ) = b sin cos / ( 1 + cos  )

Теперь определим вышину боковых граней пирамиды. Зная, что 
l / r = cos , то 
l = r cos

Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к одинаковым сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: 
S1 = lb / 2 
S1 = r cos * b / 2 
S1 = b sin cos / ( 1 + cos  ) cos * b / 2 
S1 = b2 sin cos / ( 1 + cos  ) cos / 2 
S1 = b2 sin cos   cos / ( 2 ( 1 + cos  ) )

Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: 
S2 = BC * l / 2 
S2 = 2b cos  *  r cos / 2 
S2 = b cos  * r cos  
S2 = b cos  * b sin cos / ( 1 + cos  ) * cos  
S2 = b2 cos2  sin cos / ( 1 + cos  ) 

Площадь боковой поверхности пирамиды равна: 
Sбок = 2S1 + S2 
Sбок = 2 * b2 sin cos / ( 2 ( 1 + cos  ) cos ) + b2 cos2  sin cos / ( 1 + cos  ) 
Sбок = b2 sin cos cos / ( 1 + cos  ) + b2 cos2  sin cos / ( 1 + cos  ) 
Sбок = ( b2 sin cos cos + b2 cos2  sin cos ) / ( 1 + cos  ) 
Sбок = b2 sin cos cos ( 1  + cos  ) / ( 1 + cos  ) 
Sбок = b2 sin cos cos

Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: 
S = Sбок + Sосн 
S = b2 sin cos cos + b2 cos2  sin cos / ( 1 + cos  )