отрезки ab и cd пересекаются в точке o, которая является серединой

1) Рассмотрим треугольники АОС и ДОВ. 
Угол АОС равен углу ДОВ, так как они вертикальные.
АО = ОВ (так как О - середина АВ)
ОС=ОД (так как О - середина СД), 
Треугольники одинаковы по двум граням и углу меж ними, откуда следует равенство сторон АС и ВД. 
2) Осмотрим треугольники СОВ и АОД.
Угол СОД равен углу АОД, так как они вертикальные.
СО = ОД (по доказанному)
ОВ = ОД (по доказанному), 
Треугольники равны по двум граням и углу между ними, откуда следует равенство сторон СВ и АД.
3) Осмотрим треугольники АСВ и ВДА.
АВ - общая сторона.
АС = ВД (по доказанному)
ВС = АД (по доказанному), 
Треугольники равны по трём граням (3-ий признак равенства треугольников), что и требовалось обосновать.