Центр O вписанной в треугольник ABC окружности соединили с его верхушками.

Так как у всех трех получившихся треугольников (ОАВ, ОАС и ОВС, на которые оказался поделен начальный треугольник) вышины одинаковы и одинаковы радиусу вписанной окружности, то их основания АВ, АС и ВС относятся друг к другу так же, как площади, т.е. АВ : АС : ВС = 5 : 9 : 10. Получилась задача на части. Решим ее.
48 : (5 + 9 + 10) = 48 : 24 = 2 (см) - длина одной части.
Самая короткая сторона  - это АВ. АВ = 5 * 2 = 10 (см).

Ответ: 10 см.