Аксиома об угле вершина которого лежит вне окружности

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, одинаковы и сочиняют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, величается ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется поперечником.
Свойства хорд

Поперечник (радиус) , перпендикулярный к хорде, разделяет эту хорду и обе стягиваемые ею дуги напополам. Верна и оборотная аксиома: если поперечник (радиус) делит напополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные меж параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то творенье отрезков одной хорды одинаково творению отрезков иной хорды: AMMB = CMMD.

Характеристики окружности

Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная) ; иметь с ней две общие точки (секущая) .
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания 2-ух окружностей лежит на линии, объединяющей их центры.

Аксиома о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен творенью секущей на ее наружную часть: MC2 = MAMB.

Аксиома о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то творенье одной секущей на её наружную часть одинаково произведению другой секущей на её наружную часть. MAMB = MCMD.
Углы в окружности

Центральным углом в окружности именуется тонкий угол с вершиной в ее центре.
Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, величается вписанным углом.
Любые две точки окружности разделяют ее на две доли. Любая из этих частей величается дугой окружности. Мерой дуги может служить мера подходящего ей центрального угла.
Дуга величается полуокружностью, если отрезок, объединяющий её концы, является поперечником.
Характеристики углов, связанных с окружностью

Вписанный угол или равен половине подходящего ему центрального угла, или дополняет половину этого угла до 180.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, одинаковы.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной меж его гранями.

Длины и площади

Длина окружности C радиуса R рассчитывается по формуле:
C = 2 R.

Площадь S круга радиуса R рассчитывается по формуле:
S = R2.

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом, измеренным в радианах, вычисляется по формуле:
L = R .

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:
S = R2 .

Вписанные и описанные окружности
Окружность и треугольник

центр вписанной окружности точка скрещения биссектрис треугольника, ее радиус r рассчитывается по формуле:
r = ,

где S площадь треугольника, а полупериметр;
центр описанной окружности точка скрещения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:
R = ,

R = ;

здесь a, b, c стороны треугольника, угол, лежащий против стороны a, S площадь треугольника;
центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник правильный.
Окружность и четырехугольники

около выпуклого четырехугольника можно обрисовать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних обратных углов одинакова 180:
+ = + = 180;

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него одинаковы суммы противоположных сторон:
a + c = b + d;