Знаменито, что в шестиугольнике A1A2A3A4A5A6A1A2A3A4A5A6 все углы одинаковы. Найдите длину отрезка

Так как все углы данного шестиугольника одинаковы, он - выпуклый. 

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле N=180(n-2), где n- количество  его вершин.

N=180(6-2)=720

Каждый из равных углов равен 720:6=120 

Продлим стороны А1А2 и А4А2 до скрещения в точке В,  и стороны А4А5 и А1А6 до пересечения в точке С.

  Наружные углы  при внутренних, одинаковых 120, одинаковы 180-120=60.

Тогда углы в А2ВА3 и А5СА6 - равны 60,  стороны А2ВА3 одинаковы 5, стороны А5СА6 одинаковы 8.

Наружный угол при верхушке В=внутреннему углу А1=120 

Эти углы соответствующые. Из равенства соответствующих углов следует параллельность А4ВА1С.

 Наружный угол при вершине В=внутреннему углу А4=120.

Эти углы соответствующые, из чего следует параллельность ВА1А4С.

В четырехугольнике ВА4СА1 обратные стороны параллельны. ВА4СА1 - параллелограмм, его обратные стороны одинаковы. Как следует, ВА4=5+4=9

А1С=ВА4=9.

Сторона  А1А6=9-А6С=9-8=1