В усеченный конус вписан шар, объем которого сочиняет 6/13 объема конуса.

Объём шара $V= \frac43 R^3 \pi .$
Объём усечённого конуса $V= \frac13 \pi h(r_1^2+r_2^2+r_1*r_2).$
Обозначим угол между образующей конуса и плоскостью его основания .
Проведём осевое сечение и получим равнобедренную трапецию с вписанной в неё окружностью.
В этом случае r1 = R*tg(/2). r2 = R/(tg(/2)), r1*r2 = R.
Запишем данное отношение объёмов:
((4/3)R)/((1/3)*(2R)*(R*tg(/2))+(R/tg(/2))+R) = 6/13.
Приводим к общему знаменателю:
13R(tg(/2)) = 3R(tg(/2)) + 3R + 3R(tg(/2)).
Уменьшаем на R и делаем замену tg(/2) = х.
Получаем квадратное уравнение:
3х - 10х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем условно x: Отыскиваем дискриминант:
D=(-10)^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(64-(-10))/(2*3)=(8-(-10))/(2*3)=(8+10)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;x_2=(-64-(-10))/(2*3)=(-8-(-10))/(2*3)=(-8+10)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3.
Получаем 2 решения: tg(/2) = 3, tg(/2) = 3,
tg(/2) = 1/3, tg(/2) = 1/3.
Отсюда угол равен 120 и 60 градусов, что подходит острому и тупому углам трапеции в сечении конуса.

Ответ: угол меж образующей конуса и плоскостью его основания равен 60 градусов.

О проекте

В усеченный конус вписан шар, объем которого сочиняет 6/13 объема конуса.

Добро пожаловать!